Катеноид
Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.
- [math]\displaystyle{ y=a\,\operatorname{ch}\,\frac{x}{a} }[/math] вокруг оси [math]\displaystyle{ OX }[/math].
История
Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от лат. catena означает цепь и греческого éidos — вид.
Уравнения
Катеноид можно задать и параметрически:
- [math]\displaystyle{ u\in\R, \quad v\in\left[0;2\pi\right),\qquad \begin{cases} x=\operatorname{ch}(u)\,\cos(v)\\ y=\operatorname{ch}(u)\,\sin(v)\\ z=u\end{cases}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \operatorname{ch} }[/math] — гиперболический косинус.
Свойства
- Является минимальной поверхностью.
- В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
- Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
- Общая кривизна равна [math]\displaystyle{ -4\cdot \pi }[/math].
- Полная погруженная минимальная поверхность в [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] с общей кривизны [math]\displaystyle{ -4\cdot \pi }[/math] является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.
Ссылки
- Катеноид // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.